Dans le chapitre précédent, vous avez vu quelques utilisations possibles de la convolution.
Nous avions également parlé de représentation spectrale. Dans ce chapitre, vous verrez que l'opération de convolution qui est compliquée en temporel est en fait toute simple en fréquentiel.
Vous l'aurez compris, le point important de ce chapitre est le fait que l'opération de convolution dans le domaine temporel devienne une simple multiplication dans le domaine fréquentiel.
Plus exactement, les relations de Plancherel sont :
\( TF[u_{1} \ast u_{2}]=TF[u_{1}] \times TF[u_{2}] \ (1) \\ TF[u_{1} \times u_{2}]=TF[u_{1}] \ast TF[u_{2}] \ (2) \\ \)
La conséquence la plus importante de la relation (1) est que faire un lissage, c'est tout simplement faire un filtrage. C'est-à-dire que dans le domaine fréquentiel, chaque valeur du spectre est modifiée par un coefficient. Pour trouver la valeur de ce coefficient, il suffit de calculer la transformée de Fourier du filtre utilisé.
Attention, ce coefficient est a priori un nombre complexe, il y aura donc une modification d'amplitude mais aussi de phase.
Voilà pourquoi les spécialistes des filtrages tracent ce qui s'appelle des diagrammes de Bode qui représentent à la fois le module de la TF de leur filtre en fonction de la fréquence mais aussi la phase en fonction de la fréquence.
De façon analogue, la relation (2) nous indique que lorsque l'on multiplie un signal temporel par une fonction, alors le spectre devient convolué par la transformée de Fourier de cette fonction.
Cette propriété est essentielle pour comprendre l'apparition quasi systématique de rebonds autour des raies spectrales d'un signal. Ces rebonds, sont en fait la trace d'un sinus cardinal, la transformée de Fourier de la porte qui correspond à la durée d'acquisition.
La seule façon de minimiser ce problème est de prendre une durée d'acquisition très longue, pour que la porte soit très large et que le sinus cardinal soit très étroit. Les rebonds seront toujours présents, mais ils seront beaucoup plus resserrés et moins visibles.
Une autre astuce consiste à utiliser une fenêtre de pondération, pour donner une forme moins brutale que le sinus cardinal.
Vous pouvez par exemple pondérer la fenêtre d'acquisition par une gaussienne pour que les pics du spectre soient convolués avec une gaussienne. Ça, je vous le rappelle : la transformée de Fourier d'une gaussienne est une gaussienne, plus exactement :
\( e^{-\alpha t^{2}} \xrightarrow{\text{TF}} \sqrt \frac{\Pi}{\alpha} e^{-\frac{\Pi_{2}}{\alpha}f} \)
C'est une façon de s'affranchir des rebonds, mais ça ne change pas le fait que les pics vont devenir plus "épais" après une acquisition.
Dans ce chapitre, nous avons vu ce qu'était une convolution et comment l’articuler avec la transformée de Fourier.
Dans le chapitre suivant, vous verrez la prédiction et la détection des signaux. Mais avant de passer au chapitre au suivant, je vous invite à réaliser l'activité sur la construction d'un algorithme de compression sonore.
Lors de cette activité, vous allez pouvoir mettre en pratique tout ce que vous avez vu jusqu'à présent.