Analysez les signaux 1D: Changer de représentation

Que signifie "changer de représentation" ?

Changer de base : petit rappel

Rappelons que dans l'espace usuel, vous pouvez représenter un même vecteur dans plusieurs bases possibles (pensez aux coordonnées cartésiennes, aux coordonnées cylindriques ou sphériques).

Par exemple, pour représenter le vecteur :

$ \overrightarrow{u} = u_{1}\overrightarrow{i} + u_{2}\overrightarrow{j} + u_{3}\overrightarrow{k} = {\begin{bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{bmatrix}}_{Base\ de\ départ} $

dans une autre base $ (\overrightarrow{i}', \overrightarrow{j}', \overrightarrow{k}') $ , vous projetez tout simplement le vecteur sur cette nouvelle base :

$ \overrightarrow{u} = <\overrightarrow{u}, \overrightarrow{i}'>\overrightarrow{i}' + <\overrightarrow{u}, \overrightarrow{j}'>\overrightarrow{j}' + <\overrightarrow{u}, \overrightarrow{k}'>\overrightarrow{k}' = {\begin{bmatrix} <\overrightarrow{u}, \overrightarrow{i}'> \\ <\overrightarrow{u}, \overrightarrow{j}'> \\ <\overrightarrow{u}, \overrightarrow{k}'>\end{bmatrix}}_{Nouvelle\ base} $

Remarquez comme les nouvelles composantes s'obtiennent bien par un produit scalaire !

Comme nous avons considéré qu'un signal est un vecteur, nous pouvons donc tout à fait faire un changement de base et choisir une nouvelle base pour représenter le signal.

C'est d'ailleurs ce que nous avions fait dans le chapitre Recomposer un signal, où nous avions décomposé le signal sur une base constituée de sinusoïdes.

Les complexes simplifient la tâche

Pourquoi utiliser les sinusoïdes ?

Pourquoi utiliser ces fonctions là et pas d'autres ? Il y a plusieurs bonnes raisons de le faire. Mais acceptons pour le moment que ces fonctions aient la sympathique propriété d'être faciles à rendre orthogonales les unes avec les autres (condition essentielle, je le rappelle, pour avoir une base).

Si vous avez un signal constitué de N points, vous choisirez les sinusoïdes de fréquences $ \frac{0}{N}, \ \frac{1}{N}, \ \frac{2}{N}, \ ... $ $\frac{0}{N}, \frac{1}{N}, \frac{2}{N}, \dots$

Nous avons donc très envie de construire une base faite de sinus et de cosinus. Pour simplifier les choses, nous allons mettre cosinus et sinus dans le même panier, en utilisant les exponentielles complexes :

$ e^{j2πft}=cos(2πft)+jsin(2πft) $

Définition des vecteurs de Fourier

Les vecteurs de bases que nous utiliserons seront :

$ \{ \overrightarrow{f_{n}}, n=0,...,N-1 \} \ avec \ \overrightarrow{f_{n}}={\begin{bmatrix} e^{j2π \frac{n}{N}.0} \\ e^{j2π \frac{n}{N}.1} \\ e^{j2π \frac{n}{N}.2} \\ . \\ . \\ . \\ e^{j2π \frac{n}{N}(N-1)}\end{bmatrix}}_{base\ canonique} $

Ces vecteurs sont appelés les vecteurs de Fourier.

Par exemple le premier vecteur de Fourier est celui de fréquence $ \frac{0}{N} $ $\frac{0}{N}$ :

$ \overrightarrow{f_{0}}={\begin{bmatrix} e^{j2π \frac{0}{N}.0} \\ e^{j2π \frac{0}{N}.1} \\ e^{j2π \frac{0}{N}.2} \\ . \\ . \\ . \\ e^{j2π \frac{0}{N}(N-1)}\end{bmatrix}}_{base\ canonique} = {{\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ . \\ . \\ . \\ 1\end{bmatrix}}}_{base\ canonique} $

Le deuxième vecteur de Fourier est celui de fréquence $ \frac{1}{N} $ :

$ \overrightarrow{f_{n}}={\begin{bmatrix} e^{j2π \frac{1}{N}.0} \\ e^{j2π \frac{1}{N}.1} \\ e^{j2π \frac{1}{N}.2} \\ . \\ . \\ . \\ e^{j2π \frac{1}{N}(N-1)}\end{bmatrix}}_{base\ canonique} $

Ce que nous appellerons la représentation fréquentielle d'un signal, c'est tout simplement les composantes du vecteur sur cette fameuse base de Fourier.

Ces vecteurs forment-ils une base orthonormale ?

Pour répondre à cette question, il vous faudra être très à l'aise en mathématique (en particulier, savoir calculer la somme d'une suite géométrique). La réponse est: cette base est orthogonale, mais pas normée ! Chaque vecteur est de norme $ \sqrt{N} $ . C'est d'ailleurs très malheureux de ne pas avoir normé ces vecteurs.

Ainsi, si vous souhaitez connaître la composante de fréquence $ \frac{5}{N} $ du signal représenté par le vecteur $\vec{v}$ $ \overrightarrow{v} $, vous calculez tout simplement le produit scalaire suivant:

$ Composante(\frac{5}{N})=⟨\overrightarrow{v} ,\overrightarrow{f}_{5}⟩ $

Subtilité sur le produit scalaire. Comme nous travaillons désormais avec des complexes, il nous faut légèrement modifier la définition du produit scalaire. Nous utilisons un produit scalaire défini par :

$ \overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v}⟩=\sum_{k=0}^{N-1} u_{k} \overrightarrow{v}_{k} $

où $ \overrightarrow{v} $ est le complexe conjugué de $ v $ .

Dans le cas particulier précédent, cela signifie que :

$ Composante(5\frac{5}{N})=sum_{k=0}^{N-1} u_{k} e^{-j2 \Pi\frac{5}{N}k } $

La transformée de Fourier (TF)

Cette façon de représenter les choses est tellement importante qu'elle porte un nom.

Passer des composantes canoniques aux composantes fréquentielles s'appelle faire une transformée de Fourier.

Plus exactement, la transformée de Fourier discrète est une fonction (au sens mathématique) qui transforme une suite de valeurs $u$

en une autre suite de valeurs notée

T F [u]

telle que :

$ TF[u]_n=sum_{k=0}^{N-1} u_{k} e^{-j2 \Pi\frac{n}{N}k } $

Ce qu'il faut retenir :

La représentation fréquentielle correspond à déterminer les composantes (projections) du signal sur des exponentielles complexes de fréquence bien particulières.

Spectre

Comme la transformée de Fourier est complexe, vous ne pouvez pas la tracer directement.

Ce que nous allons appeler le spectre de $u$ , c'est tout simplement le module de la transformée de Fourier de $u$ .

Mais en voilà assez, vous allez maintenant implémenter vous-même cette fameuse transformation pour y voir plus clair.