Prédire le futur des systèmes linéaires



Un système ?

Un système est un objet conceptuel (ou bien concret) qui prend un signal d'entrée \( e \), et qui renvoie un signal de sortie \( s \). 

Exemples de systèmes

Le mot système est volontairement très général. Il s'applique à tout un tas de situations. Par exemple :

  • Un microphone (Entrée = son, Sortie = tension)
  • Une lentille (Entrée = rayon lumineux, Sortie = rayon lumineux)
  • Une fonction mathématique (Entrée = fonction du temps, Sortie = une autre fonction du temps)
  • Un filtre analogique (Entrée = signal continu, sortie = signal continu filtré)
  • Un filtre numérique (Entrée = signal numérique, sortie = signal numérique filtré)
  • etc.

Voilà qui est très vague. Les systèmes qui nous intéressent plus particulièrement sont ceux qui sont linéaires et invariants (la plupart des systèmes concrets auxquels vous pourrez penser sont invariants, quant à la condition de linéarité, elle est plus dure à réaliser). 

Linéaire ?

Un système est linéaire si la réponse de ce système a une combinaison de signaux est la combinaison des réponses individuelles.

Invariant ?

Un système est invariant si sa façon de répondre ne dépend pas du moment où la réponse a lieu.

Un contre-exemple serait une trompette qui s’abîme avec le temps, sa façon de répondre à un souffle dans l'embouchure ne sera pas la même. Sur une échelle courte de temps, ce sera toutefois bien un système invariant.

Réponse impulsionnelle

La réponse impulsionnelle d'un système est la réponse de ce système à une impulsion de Dirac (Amplitude très grande pendant un temps très court).

Cette réponse impulsionnelle sera notée h(t) dans le reste du cours.

En quoi la convolution permet de prédire le futur ?

Si vous connaissez la réponse impulsionnelle

d'un système linéaire, causal, invariant (par exemple en l'ayant mesuré une fois) et si vous connaissez aussi ce que vous allez rentrer dans ce système , alors vous pouvez prédire la sortie par :
\( s(t)=[e \ast h ](t) \)

Y a t-il une alternative à cette méthode pour prédire la sortie du système ?
Oui, vous pouvez essayer de modéliser le système, appliquer les lois de la physique et vous devriez pouvoir prédire la sortie. Toutefois, cela réclame de vous d'être d'excellents physiciens.
Ici, pas besoin de tout ça, il vous suffit de mesurer la réponse impulsionnelle.
Vous n'avez même pas besoin de savoir ce qui se passe exactement à l'intérieur du système.