Voilà, vous savez normalement tracer le spectre d'un signal quelconque.
Maintenant, nous allons voir quelques formes de signaux qui reviennent souvent et le spectre qui leur est associé. Puis nous allons essayer de comprendre la signification de la grandeur que nous avons un peu mise de côté : la phase.
Avant de commencer, il faut savoir qu'à la transformée de Fourier discrète, il existe un équivalent continu. Au lieu d'une somme, c'est une intégrale et au lieu d'avoir un nombre fini de fréquence, il y a un continuum de fréquence.
Nous n'allons pas aller dans le détail de ce formalisme, nous accepterons simplement que l'on peut avoir un signal continu (une fonction de t) et qu'à ce signal continu est associé un spectre continu (une fonction de f), seule la forme de ces signaux/spectres va nous intéresser.
La porte canonique est la fonction \( t \rightarrow \Pi(t) \) telle que :
\( \left\lbrace \begin{array}{ccc} \Pi(t<-0.5) = 0 \\ \Pi(-0.5
C'est donc une fonction en forme de porte. Fantastique.
La transformée de Fourier de cette fonction est la fonction sinus cardinale définie par:
\( TF[porte](f) = \frac{sin(\Pi f)}{\Pi f} \)
Module de la fonction sinus cardinal (spectre d'une porte canonique). Remarquez la décroissance des maxima, similaire à la fonction inverse. Remarquez également la position des zéros (espacés de 1 pour la porte canonique).
Cette fonction a la forme d'oscillations qui diminue de part et d'autre de 0, avec une diminution de la forme \( \frac{1}{f} \) . Pour pouvoir tracer la partie module du spectre, il ne faudra pas oublier de prendre le module (ici la valeur absolue, puisque c'est une fonction réelle).
La transformée de Fourier d'un cosinus de fréquence \( f_{0} (t \rightarrow cos(2 \Pi f_{0}t) ) \)
\( TF[cos_{f_{0}}](f) = \frac{\delta_{f_{0}}(f) +\delta_{-f_{0}}(f) }{2} \)
où la fonction \( \delta_{f_{0}} \) est la fonction delta de Dirac centrée en \( f_{0} \) . Pour se simplifier la vie, on va dire que c'est simplement une fonction "pic", qui est nulle partout sauf en .
La transformée de Fourier d'un sinus de fréquence \( f_{0} (t \rightarrow sin(2 \Pi f_{0}t) ) \) est :
\( TF[Sinus_{f_{0}}](f) = \frac{\delta_{f_{0}}(f) +\delta_{-f_{0}}(f) }{2j} \)
Enfin la transformée de Fourier d'une exponentielle complexe de fréquence \( f_{0} (t \rightarrow e^{2\Pi f_{0}t} ) \) est :
\( TF[Exp\ Complexe_{f_{0}}](f) = \delta_{f_{0}}(f) \)
Tant cosinus et un sinus correspondent à la superposition de deux pics fréquentiels (l'un à la fréquence \( f_{0} \) , l'autre à la fréquence \( -f_{0} \) , soit la même mais en négatif).
Une autre façon de voir les choses est de dire que toutes les projections sont nulles sauf sur les exponentielles complexes de fréquence et
Cela ne surprendra personne qui connait les formules d'Euler :
\( cos\ x= \frac{e^{jx} +e^{-jx} }{2} \ et \ sin\ x= \frac{e^{jx} -e^{-jx} }{2j} \)
Seule l'exponentielle complexe pure ne contient qu'un seul pic.
Enfin, quel est le spectre associé à une sinusoïde un peu décalée \( ( t→cos(2πft+ϕ)) \) ?
La transformée de Fourier de cette fonction sera :
\( TF[Cos_{f_{0}, \phi }](f) = e^{j \phi }\frac{\delta_{f_{0}(f)} + \delta_{-f_{0}(f)}}{2} \)
Lorsque l'on prendra le module de cette fonction pour la tracer, le module de l'exponentielle complexe valant 1, il restera la même chose que pour un cosinus pas décalé.
Voilà donc un indice sur la signification de la phase (aussi appelé l'argument) des valeurs de la TF. Elles correspondent en fait à des décalages sur l'origine des exponentielles complexes.
La transformation de Fourier est une opération linéaire (il s'agit d'un produit scalaire après tout) et par conséquent, la transformée de \( u+v \) est égale à \( TF(u)+TF(v). \)
Faire une translation temporelle sur une fonction, c'est la décaler dans le temps. Je pense que vous comprendrez qu'un décalage dans le temps ne change pas la forme du signal et le spectre devrait rester invariant. La seule chose qui peut changer éventuellement, c'est la phase de chaque composante.
Mathématiquement, faire une translation temporelle de \( t_{0} \), c'est effectuer le changement de variable \( t' = t - t_{0} \). L'effet sur la transformée de Fourier correspond à une multiplication par :
\( u(t \rightarrow t_{0})\overset{TF}{\longrightarrow}e^{j2\Pi ft_{0}} \times TF[u](f) \)
Il y aura bien un effet sur la phase, mais le spectre restera inchangé puisque le module de l'exponentielle complexe vaut 1.
Faire une dilatation temporelle, cela correspond à faire un changement de variable \( t′=αt. \)
D'un point de vue fréquentiel, une dilation temporelle correspond à une contraction fréquentielle et vice versa.
L'effet sur la transformée de Fourier sera donc :
\( u(\alpha t)\overset{TF}{\longrightarrow}\frac{1}{| \alpha |} \times TF[u](\frac{f}{ \alpha }) \)
Dans cette section facultative, vous trouverez plus de détails sur les aspects théoriques qui ont été un peu passés à la trappe dans ce cours.
La transformée de Fourier continue est une fonction mathématique qui à une fonction complexe \( t→u(t) \) (ou réelle) associe une autre fonction complexe \( f→û (f) \) telle que :
\( û (f) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{u(t)e^{-k2\Pi f t}dt} \)
Un delta de Dirac est une distribution (pensez à une fonction mathématique, mais qui aurait un peu plus le droit de faire n'importe quoi).
Cet objet est défini de plusieurs façons possibles, mais une façon simple de la concevoir est qu'il s'agit de la limite d'une porte qui devient de plus en plus étroite. Mais de plus en plus haute et dont l'aire reste constante, égale à 1.
La relation mathématique associée au Dirac la plus importante à connaitre est :
\( \int{\delta_{t_{0}}(t)dt}=1 \)
Et de façon plus générale :
\( \int{\delta_{t_{0}}(t)f(t)dt}=f(t_{0}) \)