Auteur
Olivier Thual - TOULOUSE INP
Durée
30 mn de vidéos
30 mn de réponses aux questions
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Niveau
L3
Résumé rapide
Des notions de base d'algèbre linéaire sont présentées en identifiant les vecteurs avec les matrices de leurs composantes à l'aide d'un repère orthonormé. Il en va de même pour les applications linéaires ou les formes quadratiques, appelées "tenseurs d'ordre deux'', que l'on identifie aux matrices carrées de leurs composantes. Comme la base canonique est orthonormée, les règles de changement de base sont identiques pour tous ces tenseurs. On introduit alors la notion de champs de vecteurs ou de champs de tenseurs en fonction d'une variable d'espace et on passe en revue les opérateurs de dérivations de base. On exprime alors ces opérateurs et coordonnées cartésiennes, cylindriques ou sphériques.
Acquis d'apprentissage
À l'issue de ce module, les apprenants seront capables d'effectuer les calculs algébriques et différentiels de la mécanique des milieux continus sur des champs scalaires, des champs de vecteurs et des champs de tenseurs d'ordre deux, dans le cadre d'une base cartésienne. Ils sauront utiliser un formulaire pour exprimer les dérivations dans une base cylindrique ou sphérique.
Autres informations
Ce micro-contenu correspond au chapitre 1 de l'ouvrage :
J. Albagnac, O. Praud et O. Thual, De l'élasticité linéaire aux fluides newtoniens, Cépaduès-Éditions 2023, pp. 178
Réutilisation
-
Auteur
Olivier Thual - TOULOUSE INP
Durée
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Niveau
L3
Résumé rapide
Lorsque qu'une large gamme d'échelles permet de décrire un milieu à l'aide de champs continus et dérivables, le vecteur flux, qui intervient dans les équations de bilan, découle de la linéarité des flux à travers une surface par rapport à leurs normales. La divergence de ce champ de vecteur permet d'écrire le bilan local d'un constituant chimique ou encore de l'énergie interne, après avoir formulé la loi de Fick pour l'équation de diffusion et la loi de Fourier pour l'équation de la chaleur.
Acquis d'apprentissage
À l'issue de ce module, les apprenants sauront déduire un bilan local à partir d'un bilan global dans le cas d'un domaine fixe. Ils sauront expliciter les solutions analytiques instationnaires de l'équation de diffusion dans les cas 1D, 2D et 3D. Il sauront trouver des solutions stationnaires simples de l'équation de la chaleur en prenant en compte des conditions aux limites.
Autres informations
Ce micro-contenu correspond au chapitre 2 de l'ouvrage :
J. Albagnac, O. Praud et O. Thual, De l'élasticité linéaire aux fluides newtoniens, Cépaduès-Éditions
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Olivier Thual - TOULOUSE INP
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Niveau
L3
Résumé rapide
En modélisation une déformation par une application vectorielle de l'espace, le transport d'un petit vecteur est décrit par sa jacobienne. On en déduit que le transport du produit scalaire est décrit par le tenseur des dilatations. On en déduit la dilatation relative des longueurs, le glissement des angles et le transport des petits volumes. On explicite les relations entre les représentations lagrangienne et eulérienne d'un champ associées à une déformation. Dans le cas des petites déformations, le tenseur des petites déformations décrit les allongements des longueurs, les petits glissements des angles et les petites variation des petits volumes. La notion de champs peu déformés conduit à confondre les représentations eulérienne et lagrangienne.
Acquis d'apprentissage
À l'issue de ce micro-contenu, les apprenants seront capables de faire le pont entres les représentations eulériennes et lagrangiennes d'un champ. Ils sauront déduire le tenseur de dilatation à partir de l'expression analytiques d'une déformation, ou le tenseurs des petites déformations pour les petites perturbations. Ils sauront en déduire les allongements, les angles de glissement et les variations de petits volumes.
Autres informations
Ce micro-contenu correspond au chapitre 3 de l'ouvrage :
J. Albagnac, O. Praud et O. Thual, De l'élasticité linéaire aux fluides newtoniens, Cépaduès-Éditions
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Olivier Thual - TOULOUSE INP
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Niveau
L3
Résumé rapide
La loi de conservation de la masse pour les déformations quelques s'exprime en représentation lagrangienne en effectuant un changement de variable dans des intégrales triples. Le mouvement est représenté par une continuum de déformations paramétrées par le temps. Dans la cas où ces déformations sont petites, on peut remplacer les intégrales sur des domaines de particules mobile par des intégrales sur des domaines fixes et confondre représentations eulérienne et lagrangiennes. La modélisation des forces exercées sur un domaine repose sur des intégrales triples lorsqu'elles sont à longue portée et doubles pour les forces de contact. La formulation du principe fondamental de la dynamique conduit à une équation de conservation de la quantité de mouvement faisant intervenir le tenseur des contraintes, dont la symétrie est assurée par le conservation du moment cinétique. Le tricercle de Mohr constitue un représentation graphique des forces de contact associée à un tenseur des contraintes lorsque l'on fait varier la normale aux surfaces passant par un point.
Acquis d'apprentissage
À l'issue de ce micro-contenu les apprenants saurant manipuler les passages des représentations eulériennes et lagrangiennes des champs en présence d'un mouvement et appliquer sur des exemples la loi de conservation de la masse en représentation lagrangienne. Ils sauront démontrer la symétrie du tenseur des contraintes à partir de l'énoncé de la conservation du moment cinétique sur un domaine. Enfin, ils sauront tracer la représentation du tricercle de Mohr à partir de la donnée d'un tenseur des contraintes.
Autres informations
Ce micro-contenu correspond au chapitre 4 de l'ouvrage :
J. Albagnac, O. Praud et O. Thual, De l'élasticité linéaire aux fluides newtoniens, Cépaduès-Éditions
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Olivier Thual - TOULOUSE INP
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Niveau
L3
Résumé rapide
La loi de Hooke et une loi de comportement rhéologique qui relie les contraintes et les déformations d'un solide élastique dans le cadre des petites perturbations. Si la loi de Hooke généralisée fait intervenir 36 coefficients au maximum pour exprimer la relation linéaire entre le tenseur des contraintes et le tenseur des petites déformation, ce nombre est réduit à deux coefficients pour les comportements isotropes. Ces coefficients de Lamé sont reliés au module de Young et au coefficient de Poisson, dont le sens physique est mis en évidence par des expériences simples de traction uni-axiale ou de compression uniforme. L'injection de la loi de Hooke dans l'équation de conservation de la quantité de mouvement conduit aux équations de Lamé, qui décrivent, dans le cas instationnaire, la propagation des ondes élastiques. On montre que ces ondes sont la superposition d'ondes longitudinales et transversales.
Acquis d'apprentissage
À l'issue de ce micro-contenu, les apprenants seront capables de déterminer les contraintes dans un solide élastique soumis à des petits déplacements simples ou les déformations en présence de conditions aux limites simples en déplacements ou en contraintes. Ils sauront reconnaitre les ondes élastiques longitudinales et transversale et calculer leurs vitesses de propagation.
Autres informations
Ce micro-contenu correspond au chapitre 5 de l'ouvrage :
J. Albagnac, O. Praud et O. Thual, De l'élasticité linéaire aux fluides newtoniens, Cépaduès-Éditions 2023, pp. 178
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-
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Olivier Thual - TOULOUSE INP
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L3
Résumé rapide
À partir de la description eulérienne d'un champ de vitesses, il est possible de déterminer les trajectoires des particules transportées par le mouvement, les lignes de champs à un instant donnée ainsi que les tenseurs des taux de rotations et de déformations. La notion de dérivée particulaire est introduite en alternant entre les représentations lagrangienne et eulérienne des champs. À partir de la définition du gradient du champs de vitesse, le tenseur des taux de déformations permet de décrire la variation des longeurs, des anges et de volumes des petits vecteurs transportés par le mouvement.
Acquis d'apprentissage
À l'issue de ce module, les apprenants seront capables de déterminer les trajectoires et de les lignes de courant associées à un champ de vitesse. En calculant le gradient d'un champ de vitesse, il sauront déterminer le taux de rotations des particules le long d'une trajectoire. Ils sauront calculer la dérivée particulaire de champs scalaires ou vectoriel et en l'interpréter comme dérivée temporelle en suivant une trajectoire. En calculant le tenseur des taux de déformation, il sauront déterminer les taux de variation des longueurs, des angles et des volumes de petits vecteurs transportés par le mouvement.
Autres informations
Ce micro-contenu correspond au chapitre 6 de l'ouvrage :
J. Albagnac, O. Praud et O. Thual, De l'élasticité linéaire aux fluides newtoniens, Cépaduès-Éditions
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Olivier Thual - TOULOUSE INP
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Niveau
L3
Résumé rapide
Pour dériver une grandeur intégrée sur un domaine transporté par le mouvement, le changement de variable des coordonnées eulériennes vers les coordonnées lagrangiennes permet de se ramener à la dérivation d'une intégrale tripe sur un domaine fixe. Grâce aux théorèmes de transport qui en découlent, on peut formuler la loi de conservation de la masse ainsi que la forme générale des équations de bilan, dont on déduit des bilans locaux et, dans le cas de surfaces de discontinuités, des relations de saut. Le principe fondamental de la dynamique permet de définir le tenseur des contraintes et d'en déduire qu'il est symétrique.
Acquis d'apprentissage
À l'issue de ce micro-contenu, les lecteurs seront capable d'exprimer la dérivée d'une intégrale triple sur un domaine transporté par un mouvement. Ils sauront déduire les bilans et les relations de saut à partir de la formulation intégrale d'une équation de bilan. Ils sauront formuler l'équation de conservation de la masse. Ils sauront écrire le principe fondamental de la dynamique en formulation locale avec masse conservée ainsi que les relations de saut pour la quantité de mouvement.
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Ce micro-contenu correspond au chapitre 6 de l'ouvrage :
J. Albagnac, O. Praud et O. Thual, De l'élasticité linéaire aux fluides newtoniens, Cépaduès-Éditions
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Olivier Thual - TOULOUSE INP
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L3
Résumé rapide
La loi de comportement rhéologique des fluides newtoniens exprime le tenseur des contraintes comme étant la somme d'un tenseur de pression et d'un tenseur des contraintes visqueuses avec une dépendance linéaire et isotrope en fonction du tenseur des taux de déformation. Dans le cadre de l'approximation incompressible, le champ de pression est une fonction du champ de vitesse. Dans le cas compressible, la pression et l'énergie interne sont reliées à la masse volumique et à la température à travers deux lois d'état. Le premier principe de la thermodynamique ainsi de que le théorème de l'énergie cinétique permettent de coupler la dynamique à l'équation de bilan de l'énergie interne. Dans le cas inviscide, les équations d'Euler permettent de décrire les ondes sonore et de calculer la vitesse du son.
Acquis d'apprentissage
À l'issue de ce micro-contenu les apprenants sauront interpréter le sens physique de tous les termes des équations de Navier-Stokes. Ils sauront choisir les conditions aux limites dans les cas visqueux et inviscides. Ils sauront écrire les lois de conservation et les équations de bilan constitutives des équations de Navier-Stokes en formulation intégrale ou sous forme de bilan local. Ils sauront exprimer les solutions analytiques de ces équations pour un ensemble de configuration simple : écoulements de Poiseuille ou de Couette, ondes sonores, etc. Enfin, ils saurant calculer des grandeurs globale associées à ces solutions, comme la puissance des efforts intérieurs.
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Ce micro-contenu correspond au chapitre 6 de l'ouvrage :
J. Albagnac, O. Praud et O. Thual, De l'élasticité linéaire aux fluides newtoniens, Cépaduès-Éditions
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