Title: Défaut pour Calculer les transferts de chaleur par conduction et convection à travers un capteur solaire

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Un capteur solaire de 1 m^2 est constitué de la manière suivante (voir Figure 1) : de l'eau circule entre deux lames de plastique transparent identiques.

La face arrière du capteur est isolée par une plaque d'isolant collée contre le plastique.

La face avant comprend une lame d'air et une vitre. La surface numéro 4 est peinte en noir pour absorber le rayonnement solaire : cette surface absorbe 90% du flux solaire reçu.

[Image]

Les températures des surfaces sont les suivantes : T_1 = 29°C ; T_3 = 58,5°C ; T_4 = T_5 = 60°C. La température de l'eau est : T_e = T_4 = T_5 = 60°C, celle de l'air ambiant est T_a = 20°C.

Le coefficient d’échange convectif entre la surface 1 et l'air ambiant est (1/0,03) \(W/m^{2}\cdot K\). Pour la face 7, le coefficient d’échange convectif est (1/0,07) \(W/m^{2}\cdot K\).

On donne :

Verre :          Conductivité thermique    \(\lambda_{V} =1,20~W\cdot m^{-1}\cdot\)°C^-1   —  épaisseur e_v = 4 mm

Plastique :   Conductivité thermique     \(\lambda_{p} \)= inconnue    —  épaisseur e_p = 3 mm

Isolant :        Conductivité thermique     \(\lambda_{i} =0,04~W\cdot m^{-1}\cdot \)°C^-1      —   épaisseur e_i = 50 mm

Le flux solaire, absorbé par la surface de plastique numéro 4, est 800 W/m^2.

Q: Calculez en W, le flux thermique enlevé par l'air ambiant à la face 1 du verre :
A: 300
Feedback: \(\dot{Q_{av}}=\frac{T_{1}-T_{a}}{R_{cv1}^{}}=\frac{29-20}{0,03}=300~W\)

Q: Calculez la résistance thermique R_12 de la lame de verre :

[...] \(\cdot10^{-3} ~K/W\)

et la température T_2 :

[...] °C
A: 3.33; 30
Feedback: \(R_{12}=\frac{e_{v}}{\lambda _{v}\cdot S}=\frac{4\cdot 10^{-3}}{1,2\times 1}=3,33\cdot 10^{-3}~K/W\) \(\dot{Q_{av}}=\frac{T_{2}-T_{1}}{R_{12}}\) \(T_{2}=T_{1}+R_{12}\cdot \dot{Q_{av}}=29+3,33\cdot 10^{-3}\times 300=30\) °C

Q: Calculez en K/W, la résistance thermique R_23 de la lame d'air :
A: 0.095
Feedback: \(R_{23}= \frac{T_{3}-T_{2}}{\dot{Q_{av}}}=\frac{58,5-30}{300}=0,095~K/W\)

Q: Calculez la résistance thermique de la lame de plastique :

[...] \(\cdot10^{-3} ~K/W\)

Calculez sa conductivité thermique :

[...] \(W\cdot m^{-1}\cdot \)°C^-1
A: 5; 0.6
Feedback: Résistance thermique de la lame de plastique : \(R_{34}=\frac{T_{4}-T_{3}}{\dot{Q_{av}}}=\frac{60-58,5}{300}=5\cdot 10^{-3}~K/W\) Sa conductivité thermique : \(R_{34}=\frac{e_{p}}{\lambda _{p}\cdot S}\) \(\lambda _{p}=\frac{e_{p}}{R_{34}\cdot S}=\frac{3\cdot 10^{-3}}{5\cdot 10^{-3}\times 1}=0,6~W\cdot m^{-1}\).°C^-1

Q: Combien vaut la résistance thermique de l'ensemble de la face avant, en K/W :
A: 0.1333
Feedback: \(R_{av}=R_{cv1}+R_{12}+R_{23}+R_{34}=0,03 + 3,33\cdot 10^{-3}+0,095 + 5\cdot 10^{-3}=0,1333~K/W\) OU \(R_{av}=\frac{T_{4}-T_{a}}{\dot{Q_{av}}}=\frac{60-20}{300}=0,1333~K/W\)

Q: Calculez la résistance thermique R_67 de l'isolant :

[...] K/W

Calculez la résistance thermique de l'ensemble de la face arrière :

[...] K/W
A: 1.25; 1.325
Feedback: Résistance thermique R_67 de l'isolant : \(R_{67}=\frac{e_{i}}{\lambda _{i}\cdot S}=\frac{50\cdot 10^{-3}}{0,04\times 1}=1,25~K/W\) Résistance thermique de l'ensemble de la face arrière : \(R_{ar}=R_{56}+R_{67}+R_{cv2}=5\cdot 10^{-3}+1,25+0,07=1,325~K/W\)

Q: Calculez le flux thermique à travers le plastique, l'isolant et la résistance superficielle en 7 :
[...] W

Calculez T_6 :
[...] °C

Calculez T_7 :
[...] °C
A: 30.2; 59.8; 22.1
Feedback: Flux thermique à travers le plastique, l'isolant et la résistance superficielle en 7 : \(\dot{Q_{ar}}=\frac{T_{5}-T_{a}}{R_{ar}}=\frac{60-20}{1,325}=30,2~W\) \(\dot{Q_{ar}}=\frac{T_{5}-T_{6}}{R_{56}}\) d’où : \(T_{6}=T_{5}+R_{56}\cdot \dot{Q}_{ar}=60-5\cdot 10^{-3}\times 30,2=59,8\) °C \(\dot{Q_{ar}}=\frac{T_{7}-T_{a}}{R_{cv7}}\) d’où : \(T_{7}=T_{a}+R_{cv7}\cdot \dot{Q}_{ar}=20+0,07\times 30,2=22,1\) °C

Q: Calculez en K/W,  la résistance thermique totale entre l'eau et l'air ambiant :
A: 0.121
Feedback: [Image] soit : [Image] \(R_{ea}=\frac{R_{av}\times R_{ar}}{R_{av}+R_{ar}}=\frac{0,1333\times 1,325}{0,1333+1,325}=0,121~K/W\)

Q: Calculez le flux thermique récupéré par le capteur (flux solaire absorbé moins les pertes vers l'ambiance) :

[...] W

On appelle rendement le rapport (flux thermique récupéré par l'eau)/(flux solaire reçu). Quel est le rendement de ce capteur ?

[...] %
A: 59.8; 53
Feedback: Flux thermique récupéré par le capteur : \(\dot{Q}_{recupere}=\dot{Q}_{solaireabsorbe} - \left ( \dot{Q}_{av} + \dot{Q}{ar}\right )=800 -\left ( 300+30,2 \right )=469,8~W\) Rendement de ce capteur : \(\eta=\frac{\dot{Q}_{recupere}}{\dot{Q}_{solairerecu}}\) Avec : \(\dot{Q}_{solaireabsorbe}\) = 90% \(\cdot \dot{Q}_{solairerecu}\) \(\dot{Q}_{solairecu}=\frac{\dot{Q_{solaireabsorbe}}}{0,9}=\frac{800}{0,9}=888,9~W\) D'où : \(\eta=\frac{\dot{Q}_{recupere}}{\dot{Q}_{solairerecu}}=\frac{469,8}{888,9}=53\) %

Q: On monte en série deux capteurs solaires identiques à celui étudié ici (voir Figure 2) : le premier contient de l'eau à une température moyenne de 60°C, le second a un rendement de 42%.

Quelle est la température moyenne en °C,  de l'eau de ce deuxième capteur si on suppose les résistances thermiques inchangées ?

[Image]
A: 71.6
Feedback: Flux perdu (pertes vers l’ambiance) du capteur solaire 2 : \(\dot{Q}'_{av}+ \dot{Q}'_{ar}= \frac{{T}'_{e}-T_{a}}{R_{ea}}\) \({T}'_{e}= T_{a}+R_{ea}\cdot \left ( \dot{Q'}_{av} + \dot{Q'}_{ar}\right )\) Calcul de \(\left ( \dot{Q'}_{av} + \dot{Q'}_{ar}\right )\) : \(\left ( \dot{Q'}_{av} + \dot{Q'}_{ar}\right )= \dot{Q}_{solaireabsorbe}- \dot{Q'}_{recupere}\) \(\eta =\frac{\dot{Q'}_{recupere}}{\dot{Q'}_{solairerecu}}\) \(\dot{Q'}_{recupere}=\eta \cdot \dot{Q}_{solaire recu}=0,42\times 888,9=373,3~W\) \(\left ( \dot{Q'}_{av} + \dot{Q'}_{ar}\right )= \dot{Q}_{solaireabsorbe}- \dot{Q'}_{recupere}=800-373,3=426,7~W\) D'où : \({T'}_{e}=20+0,121\times 426,7=71,6\) °C