Title: Défaut pour Calculer la conductivité thermique d’un matériau en utilisant un conductivimètre

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On considère le montage représenté sur la figure ci-dessous, constitué de 2 disques métalliques identiques A et C, de rayon R et d'épaisseur e, de conductivité \(\lambda =400 W\cdot m^{-1}\cdot ^{\circ}C^{-1}\).

Entre ces pièces, sont placés un disque D de conductivité \(\lambda _{D}\) que l'on veut déterminer et un anneau B qui entoure D. B et D sont de même épaisseur e_1, le rayon intérieur de B est r et le rayon extérieur de B est R.

La conductivité \(\lambda _{B}\) de B vaut \(0,5W\cdot m^{-1}\cdot ^{\circ}C^{-1}\).

Le coefficient d'échange sur la face 2 vaut \(h_{2}=100W\cdot m^{-2}\cdot ^{\circ}C^{-1}\) et sur la face 5, \(h_{5}=150W\cdot m^{-2}\cdot ^{\circ}C^{-1}\).

 On donne T_1 = 400°C, T_2 = 313°C et T_6 = 100°C.

[Image]

Q: Calculez le flux thermique traversant ce montage en W :
A: 273.3
Feedback: En se basant sur la loi d’Ohm, le flux thermique peut se calculer n’importe où dans le circuit électrique, à partir du moment où la différence de température et la résistance électrique équivalente entre cette différence de température sont connues. Ici, on connaît T_1 et T_2 et on peut calculer R_cv,2, d’où : \(\dot{Q}=\frac{T_{1}-T_{2}}{R_{CV,2}}\) avec : \({R_{CV,2}}=\frac{1}{h_{CV,2}\cdot S_{A}}\) \(S_{A}=\pi \cdot R_{A}^{2}=\pi \cdot\frac{\Phi ^{2}}{4}\) Finalement, \(\dot{Q}=h_{CV,2}\cdot S_{A}\cdot \left ( T_{1} -T_{2}\right )=100\times \pi \times \frac{\left ( 200\cdot 10^{-3} \right )^{2}}{4}\left ( 400-313 \right )=273,3W\)

Q: Calculez toutes les résistances thermiques, sauf la résistance R_D de la pièce D. En déduire l'expression de la résistance R_éq équivalente de l'ensemble en fonction de R_D.
A: 0.318
Partly right: 0.212 (25%); 2.39 (25%); 0.664 (25%)
Feedback: Résistances de convection sur les faces 2 et 5 : $$R_{CV,2}=\frac{1}{h_{CV,2}\times S_{2}}=\frac{1}{100\times \pi \times \frac{\left ( 200\cdot 10^{-3} \right )^{2}}{4}}=0,318~K\cdot W^{-1}_)$$ \(R_{CV,5}=\frac{1}{h_{CV,5}}=\frac{1}{150\times \pi \times \frac{\left ( 200\cdot 10^{-3} \right )^{2}}{4}}=0,212~K\cdot W^{-1}\) Résistances de conduction : \[R_{A}=R_{C}=\frac{e_{A}}{\lambda _{A}\cdot S_{A}}_) avec \(S_{A}=\frac{\pi \times D_{A^{2}}}{4}\] $$R_{A}=R_{C}=\frac{30\cdot 10^{-3}}{400\times \pi \times \frac{\left ( 200\cdot 10^{-3} \right )^{2}}{4}=2,39\cdot 10^{-3}~K\cdot W^{-1}$$ \(R_{B}=\frac{e_{B}}{\lambda _{B}\cdot S_{B}}=\frac{10\cdot 10^{-3}}{0,5\times \pi \times \frac{\left ( \left ( 200-40 \right )\cdot 10^{-3} \right )^{2}}{4}}=0,664~K\cdot W^{-1}\) Résistance équivalente en fonction de R_D : \(R_{eq}=R_{CV,2}+R_{A}+\frac{R_{B}\cdot R_{D}}{R_{B}+R_{D}}+R_{C}+R_{CV,5}\) \(R_{eq}=0,535+\frac{0,663\cdot R_{D}}{0,663+R_{D}}\)

Q: Calculez en \(K\cdot W^{-1}\), toutes les résistances thermiques, sauf la résistance R_D de la pièce D.

En déduire l'expression de la résistance R_éq équivalente de l'ensemble en fonction de R_D.

Résistances de convection sur les faces 2 et 5 :

- R_cv,2 [...]
- Rc_v,5 [...]

Résistances de conduction :

- R_A [...]
- R_B [...]

Résistance équivalente en fonction de R_D :

- R_eq [...]
A: 318; 212; 239; 664; 535
Feedback: Résistances de convection sur les faces 2 et 5 : \(R_{cv,2}=\frac{1}{h_{cv,2}\times S_{2}}=\frac{1}{100\times \pi \times \frac{\left ( 200\cdot 10^{-3} \right )^{2}}{4}}=0,318~ K\cdot W^{-1}\) \(R_{cv,5}=\frac{1}{h_{cv,5}}=\frac{1}{150\times \pi \times \frac{\left ( 200\cdot 10^{-3} \right )^{2}}{4}}=0,212~ K\cdot W^{-1}\) Résistances de conduction : \(R_{A}=R_{C}=\frac{e_{A}}{\lambda _{A}\cdot S_{A}}\) avec \(S_{A}=\frac{\pi \times D_{A}}{4}^{2}\) \(R_{A}=R_{C}=\frac{30\cdot 10^{-3}}{400\times \pi \times \frac{\left ( 200\cdot 10^{-3} \right )^{2}}{4}}=2,39\cdot 10^{-3}~K.W^{-1}\) \(R_{B}=\frac{e_{B}}{\lambda _{B}\cdot S_{B}}=\frac{10\cdot 10^{-3}}{0,5\times \pi \times \frac{\left ( \left ( 200-40 \right )\cdot 10^{-3} \right )^{2}}{4}}=0,664~K.W^{-1}\) Résistance équivalente en fonction de R_D : \(R_{eq}=R_{cv,2}+R_{A}+\frac{R_{B}\cdot R_{D}}{R_{B}+R_{D}}+R_{C}+R_{cv,5}\) \(R_{eq}=0,535 + \frac{0,663\cdot R_{D}}{0,663+R_{D}}\)

Q: Calculez les températures T_3, puis T_5 et T_4 en °C

T_3  [...]

T_5  [...]

T_4  [...]
A: 3123; 1579; 1586
Feedback: Calcul de T_3 : \(\dot{Q}=\frac{T_{2}-T_{3}}{R_{A}}\) \(T_{3}=T_{2}-\dot{Q}\cdot R_{A}=313- 273\times 2,39\cdot 10^{-3}=312,3\) °C Calcul de T_5 : \(\dot{Q}=\frac{T_{5}-T_{6}}{R_{cv,5}}\) \(T_{5}=T_{6}-\dot{Q}\cdot R_{cv,5}=100+273\times 0,212=157,9\) °C Calcul de T_4 : \(\dot{Q}=\frac{T_{4}-T_{5}}{R_{C}}\) \(T_{4}=T_{5}+\dot{Q}\cdot R_{C}=157,9+273\times 2,39\cdot 10^{-3}=158,6\) °C

Q: Calculez la résistance R_D en K/W :

[...]

En déduire la conductivité thermique \(\lambda_{D} \) du disque D, en \(W/m\cdot K\) :

[...]
A: 378; 21
Feedback: Calcul de la résistance R_D en K/W : \(\dot{Q}=\frac{T_{1}-T_{6}}{R_{eq}}\) \(R_{eq}=\frac{T_{1}-T_{6}}{\dot{Q}}=\frac{400-100}{273}=1,0989~ K/W\) On a vu à la question 3 que : \(R_{eq}=0,535 + \frac{0,663\cdot R_{D}}{0,663+R_{D}}\) \(R_{D}=3,78~K/W\) Déduction de la conductivité thermique \(\lambda_{D} \) du disque D, en \(W/m\cdot K\) : \(\lambda_{D}=\frac{e_{D}}{R_{D}\cdot S_{D}} =\frac{10\cdot 10^{-3}}{3,78\times 1,26\cdot 10^{3}}=2,1~W/m\cdot K\)

Q: Donnez le schéma électrique équivalent entre le milieu à la température T1 et le milieu à la température T6 (l'isolant n'intervient pas et sera partout négligé) :
- [Image] (Le flux de chaleur va dans le sens des températures décroissantes. Lorsque le flux de chaleur traverse des couches matérielles successives, alors les résistances équivalentes sont en série. Lorsqu’il se partage entre différentes couches, alors les résistances sont en parallèle.)
- [Image]
- [Image]
A: [Image]
If right: Votre réponse est correcte.
If partly right: Votre réponse est partiellement correcte.
If wrong: Votre réponse est incorrecte.
Feedback: Le flux de chaleur va dans le sens des températures décroissantes. Lorsque le flux de chaleur traverse des couches matérielles successives, alors les résistances équivalentes sont en série. Lorsqu’il se partage entre différentes couches, alors les résistances sont en parallèle.