Exercices Chapitre 5

En considérant la famille des fonctions d’utilité Cobb-Douglas U(x) = x₁^a x₂^1–a, avec 0 < a < 1, montrer que l'équilibre du consommateur x* = (x1*,x2*) est tel que

  x₁* = a R/p₁ = d₁(p₁, p₂, R);

  x₂ *= (1–a) R/p₂ = d₂(p₁, p₂, R).

Si vous avez du mal avec les notations, faites d'abord le calcul pour a = 1/2 (dans ce cas U(x) = \( \sqrt[]{x₁} \)\( \sqrt[]{x₂} \) [ce n'est pas forcément plus facile, à vous de voir si vous êtes plus à l'aise avec les fonctions racine qu'avec les puissances générales !].

Remarques :

1. La notation d₁(p₁, p₂, R) se réfère au premier composant de la fonction de demande, c'est-à dire la fonction qui associe les prix et le revenu aux quantités demandées à l'équilibre par le consommateur.

2. Les fonctions d'utilité de Cobb-Douglas sont très utilisées en particulier parce que le TMS pour ces fonctions est très simple (vous le calculez pour cet exercice).

Et cet exercice vous montre un résultat général pour ces fonctions précises : Pour les fonctions d'utilité de Cobb-Douglas, le consommateur partage son revenu entre les deux biens de manière à dépenser une proportion a pour le bien 1 et 1-a pour le bien 2. La dépense est en effet p₁ x₁* = aR pour le bien 1 et p₂ x₂* = (1-a)R.

Il est donc très facile de travailler avec ces fonctions d'utilité. Mais bien sûr, ce partage du revenu est spécifique à ces fonctions.